Домашние задачи для интересующихся

Комбинации многогранников и тел вращения

Задача 1. Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник со сторонами 17, 17 и 30. Найти V и Sпов. вписанного шара.     

Задача 2.  В сферу радиуса 12,5 см вписан конус, высота которого равна 16 см. Найти S осевого сечения конуса, его объем и S поверхности.

Задача 3.  В сферу вписан конус, осевое сечение которого представляет собой прямоугольный ∆-к с гипотенузой равной 12 . Вычислить объем шара и объем конуса.  

Задача 4. В цилиндр, объем которого равен 250 π,  вписан шар. Найти его объем. .

Задача 5.  В шар радиуса 12 см вписан цилиндр, в котором диагональ осевого сечения составляет с его основанием угол  600. Вычислить объём цилиндра. 

Задача 6. В треугольную пирамиду со сторонами основания 20 см, 12 см и 16 см вписан шар. Найти его радиус, если двугранные углы при основании пирамиды равны по 60°.   

Задача 7. В треугольную пирамиду со сторонами основания 10 см, 17 см и 21 см вписан шар. Найти его радиус, если высота пирамиды равна 12 см, а двугранные углы при основании равны между собой. 

Комбинации многогранников и тел вращения.

Опр. Многогранник, все вершины которого принадлежат сфере, называется вписанным в шар, а шар называется описанным около многогранника.

Шар всегда можно описать:

1) около пирамиды, боковые рёбра которой равны. Тогда центр О шара лежит на высоте пирами- ды и является точкой пересечения высоты пирамиды и серединного перпендикуляра к боковому ребру пирамиды, лежащему в одной плоскости с высотой пирамиды. Значит, около правильной пирамиды можно описать шар.

 2) около правильной усечённой пирамиды. Тогда центр О шара лежит на высоте усечённой пирамиды, проходящей через центры оснований и является точкой пересечения  прямой ,содержащей высоту пирамиды и серединного перпендикуляра к боковому ребру;

3) около прямой призмы, если около её основания можно описать окружность. Тогда центр О ша- ра лежит в середине отрезка, соединяющего центры описанных около оснований окружностей;

 4) около цилиндра всегда. Тогда центром шара служит центр симметрии осевого сечения цилинд- ра;

5) около конуса всегда. Центром шара служит центр окружности, описанной около осевого сече- ния конуса;

6) около усечённого конуса всегда. Центром шара служит центр окружности, описанной около осевого сечения конуса.

Теорема 1.Около любой треугольной пирамиды можно описать шар.

Теорема2. Около правильной пирамиды можно описать шар.

Теорема 3. Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около основания этой пирамиды можно описать окружность. Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведённой через середину этого ребра.

Теорема 4.Около  призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда эта призма прямая и около основания этой призмы можно описать окружность. Её центром будет точка О, являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы

___________________________________________________________________________________

Опр. Многогранник, все грани которого касаются сферы, называется описанным около шара, а шар называется вписанным в многогранник.

Шар всегда можно вписать:

1) в конус. Тогда центром шара служит центр окружности, вписанной в осевое сечение конуса;

2) в равносторонний цилиндр ( осевое сечение- квадрат);

3) в прямую призму, когда в основание призмы можно вписать окружность, диаметр этой окруж- ности равен высоте призмы.

4) в пирамиду, боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания. Центр шара лежит на высоте пирамиды - это точка пересечения высоты с биссектрисой  линейного угла двугранного угла при основании пирамиды. Значит, в правильную  пирамиду можно описать шар.

Теорема 1. В любую треугольную пирамиду можно вписать шар.

 Теорема 2. В правильную  пирамиду можно описать шар.

Теорема 3. В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в её основание можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой окружности. Центр вписанного шара лежит на середине высоты прямой призмы, проходящей через центры окружностей,вписанных в основания призмы.

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ .ЗАДАЧИ.

Решение задач на тему: «Цилиндр"

Устные задания по теме «Цилиндр»

2.      Как изменится длина окружности, если радиус удлинить на 5 см?

3.      Сколько осей симметрии у цилиндра?

4.      Высота цилиндра равна 10 см, а радиус его основания – 5 см. Плоскость пересекает цилиндр параллельно его оси и удалена от нее на 4 см. Вычислите площадь сечения.

5.      В цилиндрическую банку диаметром 10 см опустили в жидкость деталь. Вычислите объем детали, если высота жидкости в банке поднялась на 4 см.

6.      Радиус цилиндра увеличили в два раза, а высоту уменьшили в два раза. Как изменился объем цилиндра?

7.      Площадь осевого сечения цилиндра равна S. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра.

8.      Высота равностороннего цилиндра (высота равна диаметру основания) равна 10 см. Вычислите его объем.

9.      Радиус основания и высота цилиндра равны по 4 см. Вычислите его объем.

10.  Высота равностороннего цилиндра равна 6 см. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра.

11.  Диаметр цилиндра равен 6 см, а высота – 10 см. Вычислите площадь его боковой поверхности.

12.  Во сколько раз боковая поверхность цилиндра больше площади осевого сечения?

ВАРИАНТЫ  РАБОТЫ.

Вариант 1

Прямоугольник, диагональ которого равна 25 см, а одна сторона 20 см, вращается вокруг меньшей стороны. Вычислите: а) длину высоты полученного цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

Вариант 2

Стороны прямоугольника равны 2 дм и 4 дм. Вычислите отношение полных поверхностей цилиндров, полученных при вращении прямоугольника вокруг его сторон.

Вариант 3

Диагональ осевого сечения цилиндра 12 см, она наклонена к плоскости основания под углом 45. Вычислите объем цилиндра.

Вариант 4

Диагональ прямоугольника равна 18 см, она составляет с его стороной угол 30⁰. Прямоугольник вращается вокруг большей стороны. Вычислите: а) длину высоты полученного цилиндра;

б) площадь основания цилиндра; в) площадь осевого сечения цилиндра.

Вариант 6

Высота и диаметр основания одного цилиндра равны соответственно 8 м и 6 м. Высота и диаметр другого цилиндра – 4 м и 3 м. Вычислите отношение объемов этих цилиндров.

Вариант 7

Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого 36 дм². Вычислите: а) длину образующей цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

Вариант 8

Основание и высота развертки боковой поверхности цилиндра равны соответственно 20 см и 15 см. Вычислите площадь полной поверхности цилиндра.

Вариант 9

Прямоугольник, стороны которого 15 см и 5 см, вращается сначала вокруг большей стороны, а затем вокруг меньшей. Вычислите отношение объемов полученных цилиндров.

Вариант 10

Стороны прямоугольника, который является разверткой боковой поверхности цилиндра, равны   24 см и 16 см (высота цилиндра). Вычислите: а) длину радиуса основания цилиндра; б) длину диагонали осевого сечения цилиндра; в) площадь полной поверхности цилиндра.

Вариант 11

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 12 см. Вычислите: а) длину образующей цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

Вариант 12

Квадрат со стороной 32 см является разверткой боковой поверхности цилиндра. Вычислите площадь: а) боковой поверхности цилиндра; б) полной поверхности цилиндра.

Вариант 13

В цилиндрический сосуд, диаметр основания которого равен 20 см, опущено тело сложной конфигурации. Вычислите объем этого тела, если уровень воды, находившейся в цилиндре, поднялся на 8 см.
Вариант 15

Разверткой боковой поверхности цилиндра является квадрат, диагональ которого 6 см. Вычислите площадь поверхности цилиндра.

Вариант 16

Длина окружности основания цилиндра равна 24 см. Наибольшее расстояние между точками верхнего и нижнего оснований цилиндра 30 см. Вычислите объем цилиндра.

Вариант 17

Высота цилиндра на 2 см больше радиуса его основания. Площадь осевого сечения цилиндра

96 см. Вычислите длину: а) радиуса основания цилиндра; б) высоты цилиндра.

Вариант 18

Диагональ прямоугольника 24 см. Она образует с основанием угол 60. Вычислите площадь полной поверхности цилиндра, образованного при вращении прямоугольника вокруг меньшей стороны.

Решение задач на тему: «Конус»

1.      Вписанный угол опирается на диаметр. Вычислите его величину.

2.      В окружность вписан прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 5 см. Вычислите длину окружности.

3.      Образующая конуса равна 10 см, а диаметр основания – 12 см. Вычислите площадь осевого сечения конуса.

4.      Образующая конуса равна 12 см и наклонена к основанию под углом 30. Вычислите высоту конуса.

5.      Радиус основания конуса равен 6 см, а высота – 8 см. Вычислите его образующую.

6.      Осевое сечение конуса есть равносторонний треугольник со стороной а. Вычислите боковую поверхность конуса.

7.      Образующая конуса равна 7 см, а высота – 6 см. Вычислите объем конуса.

8.      Равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковыми сторонами по 5 см  вращается вокруг высоты, проведенной к основанию. Вычислите объем тела вращения.

9.      Проекцией тела в вертикальной плоскости является треугольник, а в горизонтальной – квадрат с диагоналями. Определите вид тела.

10.  Проекцией тела в горизонтальной плоскости является круг, а в вертикальной – равнобедренный треугольник. Определите форму тела.

11.  Прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 5 см вращается вокруг большей стороны. Вычислите боковую поверхность тела вращения.

12.  Через середину высоты конуса и перпендикулярно ей построено сечение плоскостью. Площадь сечения равна 8 .Вычислите площадь основания конуса.

13.  Диаметр основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения – прямой. Вычислите объем конуса.

14.  В осевом сечении конуса – равносторонний треугольник со стороной а. Вычислите боковую поверхность конуса.

ВАРИАНТЫ  РАБОТЫ.

Вариант 1.

Диаметр основания конуса 16 см, длина его высоты 8 см. Вычислите: а) длину образующей;

б) угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.

Вариант 3.

Радиус основания конуса 6 дм. Угол между образующей и высотой конуса 30. Вычислите объем конуса.

Вариант 4.

Длина образующей конуса равна 4 дм, она наклонена к плоскости основания под углом 30. Вычислите длину: а) радиуса основания конуса; б) высоты конуса.

Вариант 5.

Высота конуса 16 дм, его образующая 20 дм. Вычислите площадь поверхности конуса.

Вариант 8.

Радиус основания конуса 6 см. Высота конуса 8 см. Вычислите площадь: а) боковой поверхности конуса; б) полной поверхности конуса.

Вариант 9.

Стороны осевого сечения конуса 40 см, 40 см и 24 см. Вычислите объем конуса.

Вариант 11.

Длина высоты конуса 8 см. Угол при вершине его осевого сечения 90. Вычислите

 площадь:

а) боковой поверхности конуса; б) полной поверхности конуса.

Вариант 12.

Угол при вершине осевого сечения конуса 120. Образующая его 16 см. Вычислите объем конуса.

Вариант 16.

Образующая конуса 17 см, его высота 15 см. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная плоскости его основания. Вычислите площадь полученного сечения.

Вариант 17.

Угол между образующей конуса и плоскостью его основания 30. Расстояние от центра основания до образующей 6 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

Вариант 18.

Площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и делящей высоту пополам, равна 144 см. Образующая конуса равна диаметру его основания. Вычислите длину высоты конуса.

Вариант 19.

Угол между образующей конуса и плоскостью его основания 30. Расстояние от центра основания до образующей 6 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.

Вариант 20.

Образующая конуса 4 дм. Центральный угол развертки его боковой поверхности 90. Вычислите объем конуса. 

Решение задач на тему: «Шар. Сфера.»                      

                

 

Устные упражнения по теме «Шар, сфера»

1.      Радиус шара 12 см. На касательной плоскости лежит точка К, которая удалена от точки касания на 5 см. На каком расстоянии находится точка К от поверхности шара?

2.      Секущая плоскость удалена от центра шара на расстояние 8 см, а радиус шара равен 10 см. Вычислите площадь сечения шара.

3.      Радиус шара равен 12 см. К нему проведена касательная плоскость. От точки касания на расстоянии 9 см в этой плоскости находится точка М. На каком расстоянии находится от поверхности шара точка М?

4.      В горизонтальной и вертикальной плоскости проекциями являются круги. Определите форму тела.

5.      Сколько можно провести диаметров через точку, произвольно взятую внутри шара?

6.      Площадь большого круга равна 1  Вычислите поверхность шара.

7.      Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 4 см и 4 см, описана сфера. Вычислите площадь сферы.

8.      Поверхности двух шаров относятся, как 4 : 9. А как относятся их диаметры?

9.      Радиус шара равен 5 см. Вычислите поверхность шара.

10.  Как изменится объем шара, если радиус увеличить в 2 раза?

11.  Радиус шара равен 1 м. Вычислите объем шара.

12.  Объем и поверхность шара выражены одним числом. Вычислите радиус шара.

13.  Как изменится поверхность шара, если радиус увеличить в 3 раза?

15.  В шар вписан прямоугольный параллелепипед с измерениями 6 см, 3 см и 2 см. Вычислите радиус шара.

16.  Радиус шара равен 5 см, а на расстоянии 3 см от центра проведено сечение шара. Вычислите площадь сечения.

17.  На окраску шара диаметром 2 дм требуется 20 г краски. Сколько краски потребуется для окраски шара диаметром 6 дм?

18.  Два различных сечения шара пересекаются. Как называется линия их пересечения?

ВАРИАНТЫ  РАБОТЫ.

Вариант 2

В каком случае потребуется больше никеля: на никелирование поверхности сферы радиусом 5 см или на никелирование поверхности семи сфер радиусом 1,9 см каждая?

Вариант 3

Длина большой окружности шара равна 6. Найдите полную поверхность куба, объем которого в 9 раз меньше объема данного шара.

Вариант 4

Шар радиусом 5 см пересечен плоскостью на расстоянии 4 см от центра. Вычислите, во сколько раз площадь полученного сечения меньше площади поверхности шара.

Вариант 5

Овощехранилище имеет форму полусферы. На окраску пола хранилища ушло 40 кг краски. Сколько килограммов краски необходимо для окраски этого хранилища с внешней стороны?

Вариант 6

На окраску сферы диаметром 3 дм ушло 90 г краски. Сколько краски понадобится для окраски сферы радиусом 2 дм?

Вариант 7

Какое тело имеет больший объем: шар радиусом 3 дм или правильная четырехугольная призма, каждое ребро которой равно 5 дм?

Вариант 8

В сфере по разные стороны от центра проведены два параллельных сечения, площади которых равны 45 см и 4 Найдите поверхность сферы, если расстояние между плоскостями равно 9 см.

Вариант 9

Металлический шар радиусом R переплавлен в конус, площадь боковой поверхности которого в два раза больше площади основания. Найдите высоту конуса.

Вариант 10

Металлический цилиндр, диаметр которого равен d, а высота цилиндра равна h, переплавлен в шар. Найдите площадь поверхности шара.

Вариант 11

Объем шара равен V. Найдите объем другого шара, у которого площадь поверхности в 9 раз больше объема данного шара.

Вариант 12

Осевое сечение конуса имеет угол при вершине, равный 120. Объем конуса 27 . Найдите длину образующей конуса и площадь поверхности шара, построенного на высоте конуса как на диаметре.

Вариант 13

Осевое сечение конуса имеет прямой угол при вершине. Площадь боковой поверхности конуса 36  . Найдите высоту конуса и объем шара, построенного на образующей конуса как на диаметре.

Вариант 14

Металлический шар радиуса R перелит в конус, боковая поверхность которого в два раза больше площади его основания. Вычислите высоту конуса.

Вариант 15

Квадрат боковой поверхности медного конуса вдвое больше квадрата площади основания конуса. Высота конуса равна Н. Конус перелит в шар. Найдите радиус шара.