Комбинации многогранников и тел вращения.

Опр. Многогранник, все вершины которого принадлежат сфере, называется вписанным в шар, а шар называется описанным около многогранника.

Шар всегда можно описать:

1) около пирамиды, боковые рёбра которой равны. Тогда центр О шара лежит на высоте пирами- ды и является точкой пересечения высоты пирамиды и серединного перпендикуляра к боковому ребру пирамиды, лежащему в одной плоскости с высотой пирамиды. Значит, около правильной пирамиды можно описать шар.

 2) около правильной усечённой пирамиды. Тогда центр О шара лежит на высоте усечённой пирамиды, проходящей через центры оснований и является точкой пересечения  прямой ,содержащей высоту пирамиды и серединного перпендикуляра к боковому ребру;

3) около прямой призмы, если около её основания можно описать окружность. Тогда центр О ша- ра лежит в середине отрезка, соединяющего центры описанных около оснований окружностей;

 4) около цилиндра всегда. Тогда центром шара служит центр симметрии осевого сечения цилинд- ра;

5) около конуса всегда. Центром шара служит центр окружности, описанной около осевого сече- ния конуса;

6) около усечённого конуса всегда. Центром шара служит центр окружности, описанной около осевого сечения конуса.

Теорема 1.Около любой треугольной пирамиды можно описать шар.

Теорема2. Около правильной пирамиды можно описать шар.

Теорема 3. Около пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около основания этой пирамиды можно описать окружность. Центр шара, описанного около пирамиды, лежит в точке пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности, и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведённой через середину этого ребра.

Теорема 4.Около  призмы можно описать шар тогда и только тогда, когда эта призма прямая и около основания этой призмы можно описать окружность. Её центром будет точка О, являющаяся серединой отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы

___________________________________________________________________________________

Опр. Многогранник, все грани которого касаются сферы, называется описанным около шара, а шар называется вписанным в многогранник.

Шар всегда можно вписать:

1) в конус. Тогда центром шара служит центр окружности, вписанной в осевое сечение конуса;

2) в равносторонний цилиндр ( осевое сечение- квадрат);

3) в прямую призму, когда в основание призмы можно вписать окружность, диаметр этой окруж- ности равен высоте призмы.

4) в пирамиду, боковые грани которой равнонаклонены к плоскости основания. Центр шара лежит на высоте пирамиды - это точка пересечения высоты с биссектрисой  линейного угла двугранного угла при основании пирамиды. Значит, в правильную  пирамиду можно описать шар.

Теорема 1. В любую треугольную пирамиду можно вписать шар.

 Теорема 2. В правильную  пирамиду можно описать шар.

Теорема 3. В призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в её основание можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой окружности. Центр вписанного шара лежит на середине высоты прямой призмы, проходящей через центры окружностей,вписанных в основания призмы.